Question

13．若α，$β∈（\frac{π}{2}，\;\;π）$，且sin（α-β）=$\frac{5}{13}$，sinβ=$\frac{4}{5}$，求sinα=$\frac{33}{65}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosβ、cos（α-β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinα=sin[（α-β）+β]的值．

解答 解：若α，$β∈（\frac{π}{2}，\;\;π）$，且sin（α-β）=$\frac{5}{13}$，sinβ=$\frac{4}{5}$，∴α-β为锐角，cosβ=-$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=-$\frac{3}{5}$，
∴cos（α-β）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（α-β）}$=$\frac{12}{13}$，
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=$\frac{5}{13}$•（-$\frac{3}{5}$）+$\frac{12}{13}$•$\frac{4}{5}$=$\frac{33}{65}$，
故答案为：$\frac{33}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．