Question

已知函数f（x）=xlnx且（x₂＞x₁＞0），则下列命题正确的是

 

．
①（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0；②

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜1；  ③f（x₁）+f（x₂）＜x₂f（x₂）；
④x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）；  ⑤当lnx₁=-1，x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞2x₂f（x₁）

Answer 1

考点：对数值大小的比较

专题：函数的性质及应用

分析：通过观察选项，出现了函数值的大小比较，可以看出需要利用函数的单调性去比较函数值及变量的大小关系，所以先对函数f（x）求导，判断它的单调性，并求出单调区间．判断的结果是f（x）在（0，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，+∞）上单调递增．①比较容易判断是不正确的，而②③④需要构造函数，根据构造的函数的单调性去判断即可．⑤的结论的证明可能要麻烦些，需要对⑤的结论做一下变形，看到⑤的结论之后，应想到把它变成：x₁f（x₁）-x₂f（x₁）＞x₂f（x₁）-x₂f（x₂），变形之后，在观察它和④的结论有什么关系，因为它们形式上相似，用上④的结论，再根据f（x）的单调性，可能就得出对⑤的结论的判断．

解答： 解：f′（x）=lnx+1，x∈（0，

1

e

）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

1

e

）上单调递减；
x∈（

1

e

，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（

1

e

，+∞）上单调递增．
①（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]＜0不正确，
∵当x₁，x₂∈（

1

e

，+∞）时，函数f（x）是增函数，
∴x₂＞x₁，得到f（x₂）＞f（x₁）；
∴（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，故①错误．
②令g（x）=f（x）-x=xlnx-x，
则g′（x）=lnx，设x₁，x₂∈（1，+∞），
则g′（x）＞0，∴函数g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴由x₂＞x₁得g（x₂）＞g（x₁）；
∴f（x₂）-x₂＞f（x₁）-x₁，∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞1，故②错误．
③构造函数h（x）=f（x）-x=xlnx-x，h′（x）=lnx，
∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0，∴函数h（x）在（0，1）上单调递减，
设x₁，x₂∈（0，1），∴由x₁＜x₂得，h（x₁）＞h（x₂）；
∴f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂，
∴f（x₁）+f（x₂）＞x₂f（x₂），故③错误；
④设φ（x）=

f(x)

x

=lnx，φ′（x）=

1

x

，∴在（0，+∞）上φ′（x）＞0，
∴函数φ（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴由x₁＜x₂得：φ（x₁）＜φ（x₂），即：∴x₂f（x₁）＜x₁f（x₂），故④正确．
⑤∵lnx₁＞-1，∴x＞

1

e

，∵x₂＞x₁，∴x₂＞

1

e

；
由前面知，f（x）在（

1

e

，+∞）上是增函数，
∴（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＞0，
即x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）．
由④知x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）得：x₁f（x₂）+x₂f（x₁）＞2x₂f（x₁）．
∴x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞2x₂f（x₁），故⑤正确．
故答案是：④⑤．

点评：本题中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，学习怎么构造函数．对于最后一个结论，需对第五个结论中的不等式做一下变形，然后用上第四个结论，能想着用第四的结论，是证明这一结论的关键．