Question

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f（x）=x³，则下列四个命题：
①f（x）是以4为周期的周期函数；
②当x∈[1，3]时，f（x）=（2-x）³；
③f（2011）=1；
④函数f（x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x-2）=-f（x）对一切x∈R恒成立即可判断①的正误；利用①f（x）是以4为周期的周期函数，当-1≤x≤1时，f（x）=x³即可求得f（x）在[1，3]上的解析式，从而可判断其正误；f（2011）=f（503×4-1）=f（-1）=-1，由此能判断③的正误；由f（1+x）=f（1-x）与f（-1+x）=f（-1-x）即可判断④的正误．

解答： 解：对于①，∵f（x-2）=-f（x）对一切x∈R恒成立，
∴f[（x-2）-2]=-f（x-2）=f（x），即f（x-4）=f（x）
以-x代x得：f（-x-4）=f（-x），
又函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，
∴-f（x+4）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，故①正确；
对于②，令1≤x≤3，则-1≤2-x≤1，故-1≤x-2≤1，
∵-1≤x≤1时，f（x）=x³，
∴f（x-2）=（x-2）³；
∵f（x-2）=-f（x），
∴-f（x）=（x-2）³，
∴f（x）=（2-x）³，故②正确；
对于③，f（2011）=f（503×4-1）=f（-1）=-1，故③错误．
对于④，∵f（2-x）=f（x），
∴f[1+（1-x）]=f[1-（1-x）]，
∴f（x）的图象关于x=1对称，
故④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的周期性及函数解析式的求解及常用方法，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，综合性强，属于中档题．