Question

已知定义在（-1，1）上的函数f （x），其导函数为f′（x）=l+cosx，且f（0）=0，如果f（1-x）+f（l-x²）＜0，则实数x的取值范围为（　　）

• A、（0，1）
• B、（1，

  2

  ）
• C、(-2，-

  2

  )
• D、（1，

  2

  ）∪（-

  2

  ，-1）

Answer 1

考点：其他不等式的解法,导数的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,不等式的解法及应用

分析：由导数判断f（x）在（-1，1）递增，再由f（x）=x+sinx+c，由于f（0）=0，则c=0，则f（x）为奇函数，即有f（-x）=-f（x），不等式即为

-1＜1-x＜1 -1＜x2-1＜1 1-x＜x2-1

，解出即可得到所求范围．

解答： 解：f（x）的导函数为f′（x）=l+cosx，
则f′（x）＞0在（-1，1）恒成立，即有f（x）在（-1，1）递增，
可设f（x）=x+sinx+c，由于f（0）=0，则c=0，
则f（x）为奇函数，即有f（-x）=-f（x），
f（1-x）+f（l-x²）＜0即为f（1-x）＜-f（l-x²）=f（x²-1），
即

-1＜1-x＜1 -1＜x2-1＜1 1-x＜x2-1

，即有

0＜x＜2 - 2 ＜x＜ 2 且x≠0 x＞1或x＜-2

，
解得，1＜x＜

2

．
故选B．

点评：本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和运用：解不等式，考查导数的运用：判断单调性，考查运算能力，属于中档题和易错题．