Question

17．某校为了解本校学生在校小卖部的月消费情况，随机抽取了60名学生进行统计．得到如表样本频数分布表：

月消费金额（单位：元）	[0，100）	[100，200）	[200，300）	[300，400）	[400，500）	≥500
人数	30	6	9	10	3	2

记月消费金额不低于300元为“高消费”，已知在样本中随机抽取1人，抽到是男生“高消费”的概率为$\frac{1}{6}$．
（Ⅰ）从月消费金额不低于400元的学生中随机抽取2人，求至少有1人月消费金额不低于500元的概率；
（Ⅱ）请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“高消费”与“男女性别”有关，说明理由．

	高消费	非高消费	合计
男生	10	20	30
女生	5	25	30
合计	15	45	60

下面的临界值表仅供参考：

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

（参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）月消费金额在[400，500）的3人分别记为A₁，A₂，A₃，月消费金额在大于或等于500的2人分别记为B₁，B₂，列出其所有的基本事件及“至少有1个月消费金额不低于500元”事件A包含的基本事件，由古典概型公式，即可求得至少有1个月消费金额不低于500元的概率；
（Ⅱ）根据题意列出2×2列联表，根据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，即可得到没有90%的把握认为“高消费”与“男女性别”有关．

解答 解：（Ⅰ）样本中，月消费金额在[400，500）的3人分别记为A₁，A₂，A₃．
月消费金额在大于或等于500的2人分别记为B₁，B₂．（1分）
从月消费金额不低于400元的5个中，随机选取两个，
其所有的基本事件如下：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），共10个．（3分）
记“至少有1个月消费金额不低于500元”为事件A
则事件A包含的基本事件有（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），
（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），共7个．（5分）
所以至少有1个月消费金额不低于500元的概率为$P（A）=\frac{7}{10}$．（6分）
（Ⅱ）依题意，样本中男生“高消费”人数$60×\frac{1}{6}=10$．（7分）

	高消费	非高消费	合计
男生	10	20	30
女生	5	25	30
合计	15	45	60

（9分）
∴${K^2}=\frac{{60×{{（10×25-20×5）}^2}}}{30×30×45×15}$=$\frac{20}{9}＜2.706$．（11分）
所以没有90%的把握认为“高消费”与“男女性别”有关．（12分）

点评 本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想，属于中档题．