Question

5．已知函数f（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx（a∈R）．在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$]
• B． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]
• C． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （-∞，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围．

解答 解：已知函数f（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx（a∈R）．
若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，
等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，
即（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx-2ax＜0恒成立．
设g（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx-2ax（x∈（1，+∞））．
即g（x）的最大值小于0．g′（x）=（x-1）（2a-1-$\frac{1}{x}$）
（1）当a≤$\frac{1}{2}$时，g′（x）=（x-1）（2a-1-$\frac{1}{x}$）＜0，
∴g（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx-2ax（x∈（1，+∞））为减函数．
∴g（1）=-a-$\frac{1}{2}$≤0
∴a≥-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$≥a≥-$\frac{1}{2}$，
（2）a≥1时，g′（x）=（x-1）（2a-1-$\frac{1}{x}$）＞0．
g（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx-2ax（x∈（1，+∞））为增函数，
g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．
（3）当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，g（x）在（1，$\frac{1}{2a-1}$）上为减函数，在（$\frac{1}{2a-1}$，+∞）上为增函数，
同样最大值可无穷大，不满足题意；
综上，实数a的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 解决不等式恒成立及不等式有解问题一般都转化为函数的最值问题，通过导数求函数的最值，进一步求出参数的范围．