Question

6．已知函数f（x）=x²-2（a²-a）lnx，g（x）=2a²lnx．
（1）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a≤$\frac{1}{2}$时，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出切点坐标，切线斜率，即可得到所求切线方程．
（2）通过$f（x）＞2g（x）⇒3{a^2}-a＜\frac{x^2}{2lnx}$，对?x＞1恒成立；构造函数$h（x）=\frac{x^2}{2lnx}$，求出导数求出极值点，判断函数的单调性，求解函数的最值，即可推出a的范围．

解答 解：（1）依题意，$f（x）={x^2}-4lnx，f'（x）=2x-\frac{4}{x}$，
故f'（1）=-2，因为f（1）=1，…（3分）
故所求切线方程为y-1=-2（x-1），得y=-2x+3；…（4分）
（2）依题意，因为x∈（1，+∞），故lnx＞0，
故$f（x）＞2g（x）⇒3{a^2}-a＜\frac{x^2}{2lnx}$，对?x＞1恒成立；…（6分）
令$h（x）=\frac{x^2}{2lnx}$，则$h'（x）=\frac{{x（{2lnx-1}）}}{{2{{（{lnx}）}^2}}}$，令h'（x）=0，得$x=\sqrt{e}$，
当$x∈（{1，\sqrt{e}}）$时，h（x）单调递减；$x∈（{\sqrt{e}，+∞}）$时，h（x）单调递增…（8分）
所以当$x=\sqrt{e}$时，h（x）取得最小值$h（{\sqrt{e}}）=e$…（9分）
∴$3{a^2}-a＜e⇒\frac{{1-\sqrt{1+12e}}}{6}＜a＜\frac{{1+\sqrt{1+12e}}}{6}$…（11分）
又∵$a≤\frac{1}{2}$，∴$\frac{{1-\sqrt{1+12e}}}{6}＜a≤\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，切线方程以及函数的单调性，函数的最值，考查转化思想以及计算能力．