Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2，cos2C-1），$\overrightarrow{n}$=（sin²$\frac{A+B}{2}$，1）且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角C的大小；
（2）如果△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，化简求得cosC=$\frac{1}{2}$，从而求得C的值．
（2）由已知得c=（2R）sinC=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，由a²+b²≥2ab，即c²+ab≥2ab，得ab≤3．由此能求出△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
∴2sin2$\frac{A+B}{2}$+cos2C-1=0⇒cos2C+cosC=0，
∴2cos²C+cosC-1=0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，即C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵△ABC的外接圆半径为R=1，∠C=$\frac{π}{3}$，
∴c=（2R）sinC=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
∵a²+b²≥2ab，即c²+ab≥2ab，
∴ab≤c²，即ab≤3．
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$≤$\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴△ABC面积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，余弦定理，根据三角函数的值求角，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．