Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞0）上有一动点M，经过左焦点F且平行于OM的直线交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点）．（1）若△OAM的面积最大值为1，求a的值；
（2）证明：|FA|•|FB|=$\frac{|OM{|}^{2}}{{a}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）当点M为椭圆的短轴的一个端点时，不妨设为（0，1），可得S_△OAM=$\frac{1}{2}$c．当点M不为椭圆的短轴的一个端点时，设直线OM的方程为：y=kx，与椭圆方程联立，解得x²，y²，可得|OM|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．直线AB的方程为：y=k（x+c），点O到直线AB的距离d=$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．利用S_△OAM=$\frac{1}{2}d|AB|$，即可得出．
（2）证明：当点M为椭圆的短轴的一个端点时，不妨设为（0，1），可得AB⊥x轴，|FA|=|FB|=$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{1}{a}$，即可证明|FA|•|FB|=$\frac{|OM{|}^{2}}{{a}^{2}}$．当点M不为椭圆的短轴的一个端点时，设直线OM的方程为：y=kx，与椭圆方程联立解得x²，y²，可得|OM|²=x²+y²=$\frac{{a}^{2}（1+{k}^{2}）}{1+{k}^{2}{a}^{2}}$．直线AB的方程为：y=k（x+c），与椭圆方程联立化为：（1+a²k²）x²+2a²k²cx+a²c²k²-a²=0，利用根与系数的关系可得：|FA|•|FB|=（ex₁+a）（ex₂+a）=e²x₁x₂+ae（x₁+x₂）+a²=$\frac{{k}^{2}+1}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，（a²-c²=1）．即可证明．

解答 （1）解：当点M为椭圆的短轴的一个端点时，不妨设为（0，1），∵AB∥OM，则AB⊥x轴，∴S_△OAM=$\frac{1}{2}bc$=$\frac{1}{2}$c．
当点M不为椭圆的短轴的一个端点时，设直线OM的方程为：y=kx，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{{a}^{2}}{1+{k}^{2}{a}^{2}}$，y²=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}}{1+{k}^{2}{a}^{2}}$，
∴|OM|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$a\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{1+{k}^{2}{a}^{2}}}$．
直线AB的方程为：y=k（x+c），点O到直线AB的距离d=$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△OAM=$\frac{1}{2}d|AB|$=$\frac{1}{2}$•$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$a\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{1+{k}^{2}{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}•\frac{ca|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}c$$•\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}{a}^{2}}+1}}$$＜\frac{1}{2}c$．
因此当AB⊥x轴时，S_△OAM取得最大值$\frac{1}{2}$c=1，解得c=2，∴$a=\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
（2）证明：当点M为椭圆的短轴的一个端点时，不妨设为（0，1），∵AB∥OM，则AB⊥x轴，|FA|=|FB|=$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{1}{a}$，∴|FA|•|FB|=$\frac{|OM{|}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$．
当点M不为椭圆的短轴的一个端点时，设直线OM的方程为：y=kx，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{{a}^{2}}{1+{k}^{2}{a}^{2}}$，y²=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}}{1+{k}^{2}{a}^{2}}$，
∴|OM|²=x²+y²=$\frac{{a}^{2}（1+{k}^{2}）}{1+{k}^{2}{a}^{2}}$．
直线AB的方程为：y=k（x+c），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+a²k²）x²+2a²k²cx+a²c²k²-a²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-2{a}^{2}{k}^{2}c}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}{k}^{2}-{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$．
∴|FA|•|FB|=（ex₁+a）（ex₂+a）=e²x₁x₂+ae（x₁+x₂）+a²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$$•\frac{{a}^{2}（{c}^{2}{k}^{2}-1）}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$+a²=$\frac{{k}^{2}+1}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，（a²-c²=1）．
∴|FA|•|FB|=$\frac{|OM{|}^{2}}{{a}^{2}}$．
综上可得：|FA|•|FB|=$\frac{|OM{|}^{2}}{{a}^{2}}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、不等式的性质，考查了分类讨论推理能力与计算能力，属于难题．