Question

11．给出下列命题：
①对空间任意两个向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$（$\overrightarrow b$≠$\overrightarrow 0$），则$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$的充要条件是存在实数λ，使得$\overrightarrow b=λ\overrightarrow a$；   
②若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，则$\overrightarrow a=\overrightarrow 0或\overrightarrow b=\overrightarrow 0$；  
③若$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面；  
④对于非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$，则$（\overrightarrow a•\overrightarrow b）\overrightarrow c=\overrightarrow a（\overrightarrow b•\overrightarrow c）$一定成立．
正确命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据共线向量基本定理及向量垂直的充要条件即可判断出①②都为假命题，而根据基底的定义即可判断出③命题正确，而根据向量数乘的几何意义即可判断命题④为假命题，这样即可得出正确选项．

解答 解：①根据共线向量基本定理，$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$的充要条件是存在实数λ，使得$\overrightarrow{b}=λ\overrightarrow{a}$，其中$\overrightarrow{a}≠\overrightarrow{0}$；
∵本命题没限制$\overrightarrow{a}≠\overrightarrow{0}$；
∴本命题为假命题；
②若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，则$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，其中$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$可以都为非零向量；
∴该命题为假命题；
③若$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$不能构成空间的一个基底，则$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$共面；
∴O，A，B，C四点共面；
∴该命题正确；
④$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$不共线，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≠0$时，$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）\overrightarrow{c}≠\overrightarrow{a}（\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}）$；
∴该命题为假命题；
∴正确命题个数为1．
故选A．

点评 考查共线向量基本定理，向量垂直的充要条件，以及空间基底的定义，共面向量的定义，向量数乘的几何意义．