定义在R上的函数f=ax+b.≥g(x)对一切实数x都成立.则称g的一个承托函数．给出如下命题:①函数g=\left\{\begin{array}{l}lnx.x＞0\\ 1.x≤0\end{array}\right.$的一个承托函数,②函数g=x+sinx的一个承托函数,③若函数g=ex的一个承托函数.则a的取值范围是[0.e],④值域是R的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b，（a，b为常数），使得f（x）≥g（x）
对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下命题：
①函数g（x）=-2是函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}lnx，x＞0\\ 1，x≤0\end{array}\right.$的一个承托函数；
②函数g（x）=x-1是函数f（x）=x+sinx的一个承托函数；
③若函数g（x）=ax是函数f（x）=e^x的一个承托函数，则a的取值范围是[0，e]；
④值域是R的函数f（x）不存在承托函数．
其中正确的命题的个数为2．

分析 ①，由f（x）=$f（x）=\left\{\begin{array}{l}lnx，x＞0\\ 1，x≤0\end{array}\right.$知，x＞0时，f（x）=lnx∈（-∞，+∞），不满足f（x）≥g（x）=-2对一切实数x都成立，可判断①；
②，令t（x）=f（x）-g（x），易证t（x）=x+sinx-（x-1）=sinx+1≥0恒成立，可判断②；
③，令h（x）=e^x-ax，通过对a=0，a≠0的讨论，利用h′（x）=e^x-a，易求x=lna时，函数取得最小值a-alna，依题意即可求得a的取值范围，可判断③；
④，举例说明，f（x）=2x，g（x）=2x-1，则f（x）-g（x）=1≥0恒成立，可判断④．

解答解：①，∵x＞0时，f（x）=lnx∈（-∞，+∞），
∴不能使得f（x）≥g（x）=-2对一切实数x都成立，故①错误；
②，令t（x）=f（x）-g（x），则t（x）=x+sinx-（x-1）=sinx+1≥0恒成立，故函数g（x）=x-1是函数f（x）=x+sinx的一个承托函数，②正确；
③，令h（x）=e^x-ax，则h′（x）=e^x-a，
由题意，a=0时，结论成立；
a≠0时，令h′（x）=e^x-a=0，则x=lna，
∴函数h（x）在（-∞，lna）上为减函数，在（lna，+∞）上为增函数，
∴x=lna时，函数取得最小值a-alna；
∵g（x）=ax是函数f（x）=e^x的一个承托函数，
∴a-alna≥0，
∴lna≤1，
∴0＜a≤e，
综上，0≤a≤e，故③正确；
④，不妨令f（x）=2x，g（x）=2x-1，则f（x）-g（x）=1≥0恒成立，故g（x）=2x-1是f（x）=2x的一个承托函数，④错误；
综上所述，所有正确命题的序号是②③共2个．
故答案为：2

点评本题考查函数恒成立问题，理解新定义“承托函数”的概念是解题的关键，考查等价转化思想与逻辑思维能力与运算能力，属于难题．

练习册系列答案

智多星寒假生活新疆美术摄影出版社系列答案

快乐假期高考状元假期学习方案寒假系列答案

创新学习寒假作业东北师范大学出版社系列答案

寒假零距离系列答案

高效中考安徽师范大学出版社系列答案

新编高中假期作业四川师范大学电子出版社系列答案

	A．	a，b，c，d中至少有一个正数		B．	a，b，c，d全为正数
	C．	a，b，c，d全都大于或等于0		D．	a，b，c，d中至多有一个负数

9．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，$sinA=\sqrt{3}sinC$，$b=\sqrt{7}$．
（Ⅰ）若$B=\frac{π}{6}$，证明：sinB=sinC；
（Ⅱ）若B为钝角，$cos2B=\frac{1}{2}$，求AC边上的高．

6．已知函数$f（x）=alnx-\frac{1}{2}{x^2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+4x存在极小值点x₀，且$g（{x_0}）-\frac{1}{2}x_0^2+2a＞0$，求实数a的取值范围．

13．函数$f（x）=\frac{1}{{{3^{x-1}}}}-3$是（　　）