Question

3．已知函数f（x）=lnx-ax，$g（x）=\frac{1}{x}+a$．
（1）讨论函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性；
（2）若f（x）•g（x）≤0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论f（x）的符号，结合函数的单调性判断出a的范围即可．

解答 解：（1）$F（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax-\frac{1}{x}-a$，（x＞0）.${F^'}（x）=\frac{1}{x}-a+\frac{1}{x^2}$…（1分）
①若a≤0时，F'（x）＞0，则F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上是增函数…（2分）
②若 a＞0时，令F′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}$，令F′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}$，
则F（x）=f（x）-g（x）在$（0，\frac{{1+\sqrt{1+4a}}}{2a}）$上是增函数…（3分）
F（x）=f（x）-g（x）在$（\frac{{1+\sqrt{1+4a}}}{2a}，+∞）$上是减函数…（4分）
（2）若f（x）•g（x）≤0在定义域内恒成立，考虑以下情形：
①当f（x）≤0，g（x）≥0同时恒成立时，
由$f（x）=lnx-ax≤0，a≥\frac{lnx}{x}$恒成立…（5分）
得：$a≥\frac{1}{e}$…（6分）
∵由$g（x）≥0，\frac{1}{x}+a≥0$恒成立得：a≥0．∴$a≥\frac{1}{e}$…（7分）
②当f（x）≥0，g（x）≤0同时恒成立时，a不存在；…（8分）
③当a＜0时，∵f（x）=lnx-ax为增函数，$g（x）=\frac{1}{x}+a$为减函数，…（9分）
若它们有共同零点，则f（x）•g（x）≤0恒成立…（10分）
由f（x）=lnx-ax=0，$g（x）=\frac{1}{x}+a=0$，联立方程组解得：a=-e…（11分）
综上：$a≥\frac{1}{e}$或a=-e…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．