Question

设f(x)=,x1=1,xn=f()(n≥2,n∈N+).

(1) 求x2,x3,x4的值;

(2) 归纳并猜想{xn}的通项公式;

(3) 用数学归纳法证明你的猜想.

Answer 1

(1) x2=f(x1)=,x3=f(x2)===,x4=f(x3)==.

(2) 根据计算结果,可以归纳猜想出xn=.

(3) ①当n=1时,x1==1,与已知相符,归纳出的公式成立.

②假设当n=k(k∈N+)时,公式成立,

即xk=;那么,当n=k+1时,有

=f(xk)====,

所以,当n=k+1时公式也成立.

由①②知,对任意n∈N+,有xn=成立.