Question

在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=64,圆O1与圆O相交,圆心为O1(9,0),且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21.

(1) 求圆O1的标准方程;

(2) 过定点P(a,b)作动直线l与圆O,圆O1都相交,且直线l被圆O,圆O1截得的弦长分别为d,d1.若d与d1的比值总等于同一常数λ,求点P的坐标及λ的值.

Answer 1

 (1)由题设,得圆O1的半径为4,所以圆O1的标准方程为(x-9)2+y2=16.

(2) 当直线l的斜率存在时,设直线l为y-b=k(x-a),即kx-y-ak+b=0.

则点O,O1到直线l的距离分别为h=,

h1=,

从而,d=2,

d1=2.

由=λ,得

64-=λ2,

整理得[64-a2-16λ2+λ2(a-9)2]k2+2b[a-λ2(a-9)]k+64-b2-λ2(16-b2)=0.

由题意,上式对于任意实数k恒成立,

所以

由2b[a-λ2(a-9)]=0,得b=0或a-λ2(a-9)=0.

①如果b=0,则64-16λ2=0,解得λ=2(舍去负值).从而a=6或18,

所以λ=2,点P(6,0),P(18,0).

②如果a-λ2(a-9)=0,显然a=9不满足,从而λ2=,

所以3a2-43a+192=0.

但Δ=432-4×3×192=-455<0,因此该方程无实数根,舍去.

当点P的坐标为(6,0)时,若直线l的斜率不存在,此时d=4,d1=2,所以=2,也满足.

综上所述,满足题意的λ=2,点P有两个,坐标分别为(6,0)和(18,0).