Question

18．已知正实数x，y，z满足x+y+z=1，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=10，则xyz的最大值为$\frac{4}{125}$．

Answer 1

分析 又条件可得z=1-（x+y），设xy=a，x+y=b，则xyz=$\frac{b（1-b）^{2}}{9-10b}$，设f（b）=$\frac{b（1-b）^{2}}{9-10b}$，利用导数判断f（b）的单调性，计算极值，根据b的范围得出f（b）的最大值．

解答 解：∵x+y+z=1，∴z=1-（x+y），
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{1-（x+y）}=10$，
即$\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{1-（x+y）}$=10，
设xy=a，x+y=b，则0＜a＜1，0＜b＜1，
∴$\frac{b}{a}+\frac{1}{1-b}=10$，化简得a=$\frac{b-{b}^{2}}{9-10b}$．
∴xyz=xy[1-（x+y）]=a（1-b）=（1-b）•$\frac{b-{b}^{2}}{9-10b}$=$\frac{b（1-b）^{2}}{9-10b}$．
令f（b）=$\frac{b（1-b）^{2}}{9-10b}$，则f′（b）=$\frac{-20{b}^{3}+47{b}^{2}-36b+9}{（9-10b）^{2}}$，
令f′（b）=0得-20b³+47b²-36b+9=0，即（4b-3）（5b-3）（1-b）=0，
解得b=$\frac{3}{5}$或b=$\frac{3}{4}$或b=1（舍），
∴当0＜b＜$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{4}＜b＜1$时，f′（b）＞0，
当$\frac{3}{5}＜b＜\frac{3}{4}$时，f′（b）＜0，
∴f（b）在（0，$\frac{3}{5}$）上单调递增，在（$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{4}$）上单调递减，在（$\frac{3}{4}$，1）上单调递增，
∴当b=$\frac{3}{5}$时，f（b）取得极大值f（$\frac{3}{5}$）=$\frac{4}{125}$．
又f（1）=0，
∴f（b）的最大值为$\frac{4}{125}$．
故答案为$\frac{4}{125}$．

点评 本题考查基本不等式的性质，将xyz转化为函数f（b）是解题的关键，属于中档题．