Question

已知f（x）=log_ax-x+1（a＞0，且a≠1）
（1）若a=e，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数判断函数的单调性即可；
（2）f（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，等价于lna＜

lnx

x-1

在区间（1，2）上恒成立，利用导数求得函数F（x）=

lnx

x-1

的最小值，即可得出结论．

解答： 解：（1）a=e时，f(x)=lnx-x+1，x∈(0，+∞)，f′(x)=

1

x

-1

令f′(x)＞0，知0＜x＜1，故f(x)的单调增区间为(0，1)； 同理f(x)的单调减区间为(1，+∞)，

（2）∵f(x)=logax-x+1=

lnx

lna

-x+1，
∴f(x)＞0在(1，2)上恒成立?

lnx

lna

＞x-1在(1，2)上恒成立
而x∈（1，2）时，lnx＞0，x-1＞0∴0＜a＜1不合题意∴a＞1
∴

lnx

lna

＞x-1在(1，2)上恒成立?lna＜

lnx

x-1

在(1，2)上恒成立令F(x)=

lnx

x-1

，则F′(x)=

1 x (x-1)-lnx

(x-1)2

=

1- 1 x +ln 1 x

(x-1)2

由（1）知，当x＞0，f（x）=lnx-x+1＜f（1）=0，
∴x∈(1，2)即

1

x

∈(

1

2

，1)时，ln

1

x

-

1

x

+1＜0恒成立，
∴F'（x）＜0恒成立∴F（x）在（1，2）上单调递减，
即F（x）＞F（2）=ln2，∴lna≤ln2，∴a≤2，
综上得a∈（1，2]．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值问题，考查学生恒成立问题的等价转化能力及运算求解能力，属于中档题．