Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+ax-2a²lnx（其中a为实数）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极小值，求a的值；
（2）若对于任意的x∈（0，1]，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′(x)=x+a-

2a2

x

，f′（1）=1+a-2a²=0，由此能求出a．
（2）由f′(x)=x+a-

2a2

x

=0，得x=a，或x=-2a，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x²+ax-2a²lnx，
∴f′(x)=x+a-

2a2

x

，
∵函数f（x）在x=1处取得极小值，
∴f′（1）=1+a-2a²=0，
解得a=-

1

2

或a=1．
（2）由f′(x)=x+a-

2a2

x

=0，
得x=a，或x=-2a，
①x∈（0，1]，当a＞0时，
x∈（a，+∞]，f′（x）＞0；x∈（0，a），f′（x）＜0，
∴f（x）_最小值=f（a）=

1

2

a2+a2-2a2lna=

3

2

a2-2a2lna，
∵对于任意的x∈（0，1]，都有f（x）≥0成立，
∴f（x）_最小值=

3

2

a2-2a2lna≥0，
∴0＜a≤e

3

4

；
②x∈（0，1]，当a=0时，
f（x）=

1

2

x²对于任意的x∈（0，1]，都有f（x）≥0成立，
∴a=0成立；
③x∈（0，1]，当a＜0时，
x∈（-2a，+∞]，f′（x）＞0；x∈（0，-2a），f′（x）＜0，
f（x）_最小值=f（-2a）=2a²-2a²-2a²ln（-2a）=-2a²ln（-2a），
∵对于任意的x∈（0，1]，都有f（x）≥0成立，
∴f（x）_最小值=-2a²ln（-2a）≥0，
解得a≥-

1

2

．
综上，实数a的取值范围是[-

1

2

，e

3

4

]．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．