题目内容
若抛物线C1：有y2=4x的焦点与椭圆C2的右焦点重合，椭圆的上顶点为B，右顶点为A，椭圆的左、右焦点为F1、F2，3|
|cos∠BF1F2=
|
|
（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为k（k＞0）的直线l，过点D（0，2），且与椭圆C2交于M，N两点．H为M，N的中点，且
∥
，求斜率k的值．
| F1B |
| 3 |
| OB |
（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为k（k＞0）的直线l，过点D（0，2），且与椭圆C2交于M，N两点．H为M，N的中点，且
| OH |
| AB |
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由题意求出a，b，c 从而得到椭圆的方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，由韦达定理化简，进而由平行解k．
解答：
解：（Ⅰ）由题意知，F1（-1，0），F2（1，0）；
|
|=a，cos∠BF1F2=
，|
|=b；
∵3|
|cos∠BF1F2=
|
|，
∴3a•
=
b；即b=
•c=
．
则a=2．
∴椭圆C2的标准方程为：
+
=1．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，
与
+
=1联立可得，
3x2+4（kx+2）2-12=0，
即（4k2+3）x2+16kx+4=0，
则△=（16k）2-4×4×（4k2+3）＞0，
解得，k＞
．
此时，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=-
，y1+y2=k•（-
）+2=
，
则点H（-
，
），
∵
∥
，
∴
=
，
解得，k=
．
解：（Ⅰ）由题意知，F1（-1，0），F2（1，0）；|
| F1B |
| c |
| a |
| OB |
∵3|
| F1B |
| 3 |
| OB |
∴3a•
| c |
| a |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
则a=2．
∴椭圆C2的标准方程为：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，
与
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
3x2+4（kx+2）2-12=0，
即（4k2+3）x2+16kx+4=0，
则△=（16k）2-4×4×（4k2+3）＞0，
解得，k＞
| 1 |
| 2 |
此时，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=-
| 16k |
| 4k2+3 |
| 16k |
| 4k2+3 |
| -8k2+6 |
| 4k2+3 |
则点H（-
| 8k |
| 4k2+3 |
| -4k2+3 |
| 4k2+3 |
∵
| OH |
| AB |
∴
| -4k2+3 |
| -8k |
| ||
| 0-2 |
解得，k=
| ||||
| 2 |
点评：本题考查了椭圆的方程求法，及椭圆与直线联立的相关问题，化简比较难，要细致，属于中档题．
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