Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n是S_n和1的等差中项，等差数列{b_n}满足b₁+S₄=0，b₉=a₁．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=

1

(bn+16)(bn+18)

，求数列{c_n}的前n项和W_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n是S_n和1的等差中项，可得S_n=2a_n-1，再写一式，可得数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，可求数列{a_n}的通项公式，求出等差数列{b_n}的首项与公差，可得{b_n}的通项公式；
（2）利用裂项求和，可得数列{c_n}的前n项和W_n．

解答： 解：（1）∵a_n是S_n和1的等差中项，∴S_n=2a_n-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，∴a_n=2a_n-1，
当n=1时，a₁=1，（2分）
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1（6分）
∴S_n=2ⁿ-1；
设{b_n}的公差为d，b₁=-S₄=-15，b₉=a₁=-15+8d=1，
∴d=2，
∴b_n=2n-17；（8分）
（2）c_n=

1

(bn+16)(bn+18)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴W_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

1

2

-

1

4n+2

（14分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．