Question

13．已知f（x）=sin²x+cosx，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，则f（x）的值域为[$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]．

Answer 1

分析 先可将原函数变成y=-（cosx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，而由x的范围，根据余弦函数的图象可求出，通过上面函数解析式即可求出其值域．

解答 解：y=1-cos²x+cosx=-（cosx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴cosx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴-1≤cosx-$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
∴-1≤-（cosx-$\frac{1}{2}$）²≤0
∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{5}{4}$-（cosx-$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{5}{4}$
∴原函数的值域为[$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]，
故答案为：[$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]

点评 考查sin²x+cos²x=1，配方法求函数的最值，从而求出函数的值域，以及对余弦函数图象的掌握，根据余弦函数的图象求余弦函数的范围．