Question

7．已知二次函数f（x）=x²-16x+q+3
（1）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；
（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）若函数在区间[-1，1]上存在零点，则$\left\{\begin{array}{l}f（-1）≥0\\ f（1）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}q+20≥0\\ q-12≤0\end{array}\right.$，解得实数q的取值范围；
（2）假定存在满足条件的q值，结合二次函数的图象和性质，对q进行分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）若二次函数f（x）=x²-16x+q+3的图象是开口朝上，且以直线x=8为对称轴的抛物线，
故函数在区间[-1，1]上为减函数，
若函数在区间[-1，1]上存在零点，
则$\left\{\begin{array}{l}f（-1）≥0\\ f（1）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}q+20≥0\\ q-12≤0\end{array}\right.$，
解得：q∈[-20，12]；
（2）若存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51，
当0＜q≤8时，f（8）=q-61=-51，解得：q=10（舍去），
当8＜q＜10时，f（q）=q²-15q+3=-51，解得：q=9，或q=6（舍去），
综上所述，存在q=9，使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．