题目内容

17．某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）
甲132108112121113121118127118129
乙133107120113122114125118129127
（1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图中作出甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，并判列哪个班的平均水平较高；
（2）若数学成绩不低于128分，称为“优秀”，求从甲班这10名学生中随机选取3名，至多有1名“优秀”的概率．
（3）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体成绩，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“优秀”学生的人数，求X的数学期望．

分析 （1）以百位和十位为茎，个位为叶，能作出甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，由茎叶图，得乙班的平均水平较高．
（2）由以上数据知：甲班这10人中“优秀”的学生有2名，从这10名学生中随机选取3人，利用排列组合知识能求出至多有1人“优秀”的概率．
（3）样本20名学生中，“优秀”的有4名，从这20名学生中任选1名，利用等可能事件概率计算公式能求出恰好抽到“优秀”的概率为0.2，从而得到X～B（3，0.2由此能求出X的数学期望．

解答 解：（1）以百位和十位为茎，个位为叶，作出甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如图所示：

由茎叶图，得乙班的平均水平较高．
（2）由以上数据知：甲班这10人中“优秀”的学生有2名，
则从这10名学生中随机选取3人，
至多有1人“优秀”的概率p=$\frac{{C}_{8}^{3}+{C}_{8}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{14}{15}$．
（3）∵样本20名学生中，“优秀”的有4名，
∴从这20名学生中任选1名，
恰好抽到“优秀”的概率为$\frac{4}{20}$=0.2，
据此可估计从该校中任选1名学生，其为“优秀”的概率为0.2，
∵X～B（3，0.2），∴EX=3×0.2=0.6．

点评 本题考查茎叶图的作法，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．

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