题目内容

12．计算下列各式的值
（1）log3$\sqrt{27}$+lg25+lg4$+{（{0.125}）^{\frac{1}{3}}}$
（2）已知a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求值：$\frac{{a+{a^{-1}}}}{{{a^2}+{a^{-2}}}}$．

分析 （1）利用对数、分数指数幂性质、运算法则求解．
（2）利用分指数幂性质、运算法则和完全平方式求解．

解答 解：（1）log3$\sqrt{27}$+lg25+lg4$+{（{0.125}）^{\frac{1}{3}}}$
=$\frac{3}{2}+2+\frac{1}{2}=4$．（5分）
（2）∵a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴${（{a^{\frac{1}{2}}}+{a^{-\frac{1}{2}}}）^2}=a+{a^{-1}}+2=9$，
∴a+a-1=7，（7分）
∴（a+a-1）=a2+a-2+2=49，
∴a2+a-2=47，（9分）
∴$\frac{{a+{a^{-1}}}}{{{a^2}+{a^{-2}}}}=\frac{7}{47}$．（10分）

点评 本题考查指数式、对数式化简求值，考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、分数指数幂性质、运算法则和完全平方式的合理运用．

练习册系列答案
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2．求下列各式的值：
（1）若$\frac{π}{2}$＜α＜π，且sinα=$\frac{4}{5}$，求$\frac{sin（2π-α）tan（π+α）cos（-π+α）}{sin（\frac{π}{2}-α）cos（\frac{π}{2}+α）}$的值，
（2）lg200+$\frac{1}{2}$lg25+5（lg2+lg5）3-（$\frac{1}{27}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$．
3．计算：
（1）${0.027^{-\frac{1}{3}}}-{（-\frac{1}{7}）^{-2}}+{256^{\frac{3}{4}}}-{3^{-1}}+{（\sqrt{2}-1）^0}$
（2）$\frac{5}{2}lg2-\frac{4}{3}lg\sqrt{8}+lg\sqrt{245}-lg7$．
20．设命题p：函数f（x）=x3在R上为增函数；命题q：函数f（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x）为奇函数，则下列命题中真命题是（　　）
A．p∧qB．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨q
7．已知二次函数f（x）=x2-16x+q+3
（1）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；
（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．
17．如图，阴影部分区域中的任意点（含边界）都满足不等式x-2y＞a，则实数a的取值范围为（　　）
A．（-∞，1）B．（-∞，-2）C．（-2，+∞）D．（1，+∞）
4．给出下列四个命题：
①函数y=-$\frac{1}{x}$在R上单调递增；
②函数y=$\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{{|{x+2}|-2}}$为奇函数；
③若函数f（2x）的定义域为[1，2]，则函数f（2x）的定义域为[1，2]；
④若函数y=x2+2（a-1）x+2在（-∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（-∞，-3）．
其中正确的序号是②③．
1．下列函数中，与函数f（x）=lg（x-2）定义域相同的函数为（　　）
A．y=2x-2B．$y={（\sqrt{x-2}）^2}$C．$y=\frac{1}{{\sqrt{x-2}}}$D．$y=\sqrt{{{（x-2）}^2}}$
2．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2015+a2016＞0，a2015•a2016＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4030．

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