Question

13．给出下列说法：
①集合A={x∈Z|x=2k-1，k∈Z}与集合B={x∈Z|x=2k+1，k∈Z}是相等集合；
②若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
③定义在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a、b，总有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0成立，则f（x）在R上是增函数；
④存在实数m，使f（x）=x²+mx+1为奇函数．
正确的有①③．

Answer 1

分析 由集合相等的概念判断①；直接求出函数的定义域判断②；由函数单调性的定义判断③；由奇函数的性质：定义在实数集上的奇函数有f（0）=0判断④．

解答 解：①集合A={x∈Z|x=2k-1，k∈Z}与集合B={x∈Z|x=2k+1，k∈Z}均为奇数集，是相等集合，故①正确；
②若函数f（x）的定义域为[0，2]，则由0≤2x≤2，解得0≤x≤1，函数f（2x）的定义域为[0，1]，故②错误；
③定义在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a、b，总有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0成立，即当a＞b时，有f（a）＞f（b），则f（x）在R上是增函数，故③正确；
④函数f（x）=x²+mx+1的定义域为R，若函数为奇函数，则f（0）=0，即1=0，矛盾，∴对任意实数m，函数f（x）=x²+mx+1不会是奇函数，故④错误．
故答案为：①③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了集合相等的概念，考查了与抽象函数有关的函数定义域的求法，考查了函数单调性和奇偶性的性质，是中档题．