Question

18．如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于D，且AD=2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F．若CD=$\sqrt{2}$，则求线段AB与EF的长度．

Answer 1

分析 AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．利用射影定理可得CD²=AD•DB．已知AD=2DB，CD=$\sqrt{2}$，可得DB=1，AB=AD+DB=3．已知E为AD的中点，可得ED=1．在Rt△CDE中，利用勾股定理可得CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$，利用相交弦定理可得：EA•EB=EC•EF，即可求得EF．

解答 解：∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC．----（2分）
∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD²=AD•BD．∵AD=2BD，CD=$\sqrt{2}$，
∴（$\sqrt{2}$）²=2BD•BD，解得BD=1，-------（4分）
∴AD=2BD=2，∴AB=AD+BD=2+1=3．------（6分）
在Rt△CDE中，∵E为AD的中点，∴DE=$\frac{1}{2}$AD=1，又CD=$\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，-------（8分）
又AE=DE=1，EB=2，由相交弦定理得EF=$\frac{AE•EB}{CE}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．---------（10分）

点评 熟练掌握圆的性质、射影定理、勾股定理、相交弦定理是解题的关键．