Question

6．在平面直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}θ}$，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B．
（1）若α=$\frac{π}{3}$，求线段AB中点M的直角坐标；
（2）若|PA|•|PB|=|OP|²，其中P（2，$\sqrt{3}$），求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程化为ρ²+3（ρsinθ）²=4，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入即可得出直角坐标方程．把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：13t²+56t+48=0，设点M对应的参数为：t₀，利用根与系数的关系及其中点坐标公式即可得出线段AB中点M的直角坐标．
（2）把直线l的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$代入曲线C的普通方程可得：（cos²α+4sin²α）t²+$（8\sqrt{3}sinα+4cosα）$t+12=0，可得|PA|•|PB|=|t₁t₂|，|OP|²=7，即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}θ}$，化为ρ²+3（ρsinθ）²=4，可得x²+4y²=4，化为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
α=$\frac{π}{3}$时，直线l的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．代入曲线C的普通方程可得：13t²+56t+48=0，则t₁+t₂=$-\frac{56}{13}$．
设点M对应的参数为：t₀，则t₀=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=-$\frac{28}{13}$，
∴线段AB中点M的直角坐标为$（\frac{12}{13}，-\frac{\sqrt{3}}{13}）$．
（2）把直线l的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$代入曲线C的普通方程可得：（cos²α+4sin²α）t²+$（8\sqrt{3}sinα+4cosα）$t+12=0，
∵|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{12}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$，|OP|²=7，
∴$\frac{12}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$=7，解得tan²α=$\frac{5}{16}$，
∵△=32cosα$（2\sqrt{3}sinα-cosα）$＞0，故取tanα=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
∴直线l的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用、弦长公式、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．