Question

2．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≥a}\\{a{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$，若存在实数b，使函数y=f（x）-b有且只有2个零点，则实数b的取值范围是（0，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≥a}\\{a{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$的图象和直线y=b有2个交点，分类讨论，数形结合求得a的取值范围．

解答 解：由题意可得函数y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≥a}\\{a{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$的图象和直线y=b有且只有2个交点，
当a=0 时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≥a}\\{0，x＜a}\end{array}\right.$，如图（1）所示，函数y=f（x）的图象和直线y=b之多有一个交点，不满足条件．
当a＞0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≥a}\\{a{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$的图象如图（2）所示，此时，应有b＞0．
当a＜0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≥a}\\{a{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$的图象如图（3）所示，此时，
函数y=f（x）的图象和直线y=b之多有一个交点，不满足条件．综上可得，b＞0，
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题主要考查函数零点和方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．