Question

3．已知定义在实数集R上的函数f（x）的导函数是f′（x），下列命题中：
①当xf′（x）-f′（x）＞0时，函数f（x）存在最小值；
②当xf′（x）+f（x）＞0时，函数f（x）在R上单调递增；
③当f′（x）-f（x）＞0时，ef（n）＜f（n+1），n∈N^*；
④当f（1）=4，且f′（x）＜3时，不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e）
所有正确的命题是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 分别构造新函数，结合函数的单调性分别判断即可．

解答 解：①当xf′（x）-f′（x）＞0即（x-1）f′（x）＞0时，
f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增，
故f（x）的最小值是f（1），函数f（x）存在最小值，
故①正确；
②令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x）
当xf′（x）+f（x）＞0时，
函数g（x）=xf（x）在R递增，
故函数f（x）在R上不一定单调递增，
比如f（x）=1是常函数，
故②错误；
③令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
当f′（x）-f（x）＞0时，
g′（x）＞0，g（x）在R递增，
∴g（n）＜g（n+1），
即$\frac{f（n）}{{e}^{n}}$＜$\frac{f（n+1）}{{e}^{n+1}}$，
∴ef（n）＜f（n+1），n∈N^*，
故③正确；
④令g（x）=f（x）-3x，则g′（x）=f′（x）-3
∵f′（x）＜3，∴g′（x）＜0，g（x）递减，
而f（1）=4，∴g（1）=4-3=1，
不等式f（lnx）＞3lnx+1，
即g（lnx）＞g（1），即lnx＜1，
故不等式的解集为（0，e），
故④正确，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造出新函数是解题的关键，本题是一道中档题．