Question

7．设数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₃+1，a₄成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{a_n}满足a_n•b_n=a_n²-1，求数列{b_n}的前几项和T_n．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-a₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2a_n-1．由a₁，a₃+1，a₄成等差数列，可得2（a₃+1）=a₄+a₁，代入解出a₁，利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用（I）的结论求得{b_n}的通项公式，然后由分组求和法来求T_n．

解答 解：（I）数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-a₁，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1（n≥2）．
∵a₁，a₃+1，a₄成等差数列，
∴2（a₃+1）=a₄+a₁，
∴8a₁+2=8a₁+a₁，
解得a₁=2，
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）由（I）知，a_n=2ⁿ．
∵a_n•b_n=a_n²-1，
∴2ⁿ•b_n=（2ⁿ）²-1，
∴b_n=2ⁿ-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=[2¹-（$\frac{1}{2}$）¹]+[2²-（$\frac{1}{2}$）²]+…+2ⁿ-（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-[$\frac{1}{2}$+-（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]
=$\frac{2×（1-{2}^{n}）}{1-2}$-$\frac{\frac{1}{2}×[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$
=2ⁿ⁺¹+$\frac{1}{{2}^{n}}$-3．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．