Question

8．若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ x+2y-4≥0\\ 2y-3≤0\end{array}\right.$，则$\frac{y}{x}$的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{1}{4}，\frac{3}{2}]$
• B． $[\frac{1}{4}，\frac{3}{7}]$
• C． $[\frac{3}{7}，\frac{3}{2}]$
• D． $（0，\frac{1}{4}]∪[\frac{3}{2}，+∞]$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据$\frac{y}{x}$的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
$\frac{y}{x}$的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA的斜率最大，OC的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{2y-3=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即A（1，$\frac{3}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{8}{3}$，$\frac{2}{3}$），
则OA的斜率k=$\frac{3}{2}$，OC的斜率k=$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{3}}$=$\frac{1}{4}$，
即$\frac{y}{x}$的取值范围是[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{2}$]，
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用$\frac{y}{x}$的几何意义是区域内的点到原点的斜率是解决本题的关键．