Question

已知定义在R上的可导函数y=f（x）是偶函数，且满足xf′（x）＜0，f(

1

2

)=0，则满足f(log

1

4

x)＜0的x的范围为（　　）

• A、（-∞，

  1

  2

  ）∪（2，+∞）
• B、（

  1

  2

  ，1）∪（1，2）
• C、（

  1

  2

  ，1）∪（2，+∞）
• D、（0，

  1

  2

  ）∪（2，+∞）

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,导数的运算

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性以及函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

解答： 解：当x＞0时，由xf′（x）＜0，得f′（x）＜0，即此时函数单调递减，
∵函数f（x）是偶函数，
∴不等式f(log

1

4

x)＜0等价为f（|log

1

4

x|）＜f(

1

2

)，
即|log

1

4

x|＞

1

2

，即log

1

4

x＞

1

2

或log

1

4

x＜-

1

2

，
解得0＜x＜

1

2

或x＞2，
故x的取值范围是（0，

1

2

）∪（2，+∞）
故选：D

点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．