Question

5．已知点F₁，F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F₁的直线l与双曲线C的左、右两支分别相交于点P，Q，若△PQF₂是以∠Q为直角的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 可设|F₁F₂|=2c，|QF₂|=m，若△PQF₂是构成以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则|PQ|=|QF₂|=m，|PF₂|=$\sqrt{2}$m，再由双曲线的定义，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．

解答 解：设|QF₂|=m，Q在右支上，
由双曲线的定义可得，|QF₁|-|QF₂|=2a，
∴|QF₁|=2a+|QF₂|=2a+m，
又|QF₁|=|PQ|+|PF₁|=m+|PF₁|，
∴|PF₁|=2a，又|PF₂|-|PF₁|=2a，
∴|PF₂|=4a，
在等腰直角△PQF₂中，|PF₂|=$\sqrt{2}$m=4a，
解得m=2$\sqrt{2}$a，
在Rt△F₁QF₂中，|QF₁|²+|QF₂|²=4c²，
即（2a+2$\sqrt{2}$a）²+（2$\sqrt{2}$a）²=4c²，
即c²=（5+2$\sqrt{2}$）a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$．
故答案为：$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．