Question

17．设S_n是数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和，a₁=1，且S_n²=n²a_n+S_n-1²，a_n≠0，n≥2，n∈N^*．
（1）证明：a_n+2-a_n=2（n∈N^*）；
（2）若a_n=log₃b_n，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n²=n²a_n+S_n-1²可得S_n+S_n-1=n²，从而可得a_n+1+a_n=2n+1，从而证明；
（2）由（1）可解得a_n=n，b_n=3ⁿ，从而利用错位相减法求前n项和．

解答 解：（1）证明：∵S_n²=n²a_n+S_n-1²，
∴n²a_n=（S_n+S_n-1）（S_n-S_n-1），
即n²a_n=（S_n+S_n-1）a_n，又∵a_n≠0，
故S_n+S_n-1=n²，
故S_n+1+S_n=（n+1）²，
故a_n+1+a_n=2n+1，
故a_n+2+a_n+1=2n+3，
故a_n+2-a_n=2（n∈N^*）；
（2）由题意可解得，a₁=1，a₂=2，
故a_n=n，
故log₃b_n=n，
故b_n=3ⁿ，
故T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，
故2T_n=n•3ⁿ⁺¹-（3+3²+3³+…+3ⁿ）
=n•3ⁿ⁺¹-$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$
=n•3ⁿ⁺¹-$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{2}$，
故T_n=$\frac{（2n-1）{3}^{n+1}+3}{4}$．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及错位相减法求前n项和的应用．