Question

已知cos（α+β）=

4

5

，cos（α-β）=-

4

5

，

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，则cos2β=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：首先根据α，β的范围确定π＜α+β＜

3π

2

，0＜α-β＜

π

4

．从而求出sin(α+β)=-

3

5

，sin(α-β)=

3

5

．再利用两角差的余弦公式即可求出则cos2β=-1．

解答： 解：∵

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，
∴π＜α+β＜

3π

2

，
0＜α-β＜

π

4

．
∴sin(α+β)=-

1-cos2(α+β)

=-

1- 16 25

=-

3

5

，
sin(α-β)=

1-cos2(α-β)

=

1- 16 25

=

3

5

．
又∵2β=（α+β）-（α-β）
由两角差的余弦公式，得
cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]
=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）
=

4

5

•(-

4

5

)+(-

3

5

)•

3

5

=-1．
故答案为；-1．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式等知识，属于中档题．