Question

已知z是虚数，且z+

1

z

是实数，求证

z-1

z+1

是纯虚数．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：设出虚数z，利用z+

1

z

是实数，推出关系式，然后化简所求的表达式，推出是纯虚数即可．

解答： 证明：设虚数z=a+bi，（b≠0）．
z+

1

z

=a+bi+

1

a+bi

=a+

a

a2+b2

+（b-

b

a2+b2

）i．∵z+

1

z

是实数，∴b-

b

a2+b2

=0，∵b≠0可得a²+b²=1．

z-1

z+1

=

a-1+bi

a+1+bi

=

[(a-1)+bi][(a+1)-bi]

(a+1)2+b2

=

(a2+b2-1)+2bi

(a+1)2+b2

=

2bi

(a+1)2+b2

．
显然

z-1

z+1

是纯虚数．

点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，基本知识的考查．