题目内容
【题目】(2015·四川）已知函数f(x)=2x ， g(x)=x2+ax（其中a
R）.对于不相等的实数x1, x2 ， 设m=
，n=
.
现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数x1, x2 ， 都有m>0；
（2）对于任意的a及任意不相等的实数x1, x2 ， ，都有n>0；
（3）对于任意的a ， 存在不相等的实数x1, x2 ， 使得m=n；
（4）对于任意的a ， 存在不相等的实数x1, x2 ， 使得m=-n.
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）.
【答案】(1)(4)
【解析】设A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)), C(x1, g(x1)), D(x2, g(x2)), 对(1), 从y=2x的图像可看出， m=KAB>0,恒成立， 故正确。对（2), 直线CD的斜率可为负， 即n<0， 故不正确。对（3），由m=n得f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2)， 即f(x1)-g(x1)=f(x2))-g(x2)， 令h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax. 则h'(x)=2xln2-2x-a. 由 h'(x)=0得， 2xln2=2x+a， 做出y=2xln2, y=2x+a的图像可知， 方程2xln2=2x+a不一定有解， 所以h(x)不一定有极值点， 即对任意的a，不一定存在不相等的实数x1, x2，使得h(x1)=h(x2)，即不一定存在不相等得实数x1, x2使得m=n，故不正确。
对（4），由m=-n得f(x1)-g(x1)=f(x2))-g(x2)， 即f(x1)+g(x1)=f(x2))+g(x2)， 令h(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax. 则h'(x)=2xln2+2x+a.
h'(x)=0得， 2xln2=-2x-a， 做出y=2xln2, y=-2x-a的图像可知， 方程2xln2=-2x-a一定有解， 所以h(x)一定有极值点， 即对任意的a，一定存在不相等的实数x1, x2，使得h(x1)=h(x2)，即一定存在不相等得实数x1, x2使得m=n，故不正确。
四川高考数学15题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩读者可从解析中慢慢体会.解决本题的关键是转化思想，通过转化使问题得以解决.
寒假学与练系列答案
【题目】某同学用“五点法”画函数
在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
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(1)请写出上表的
及函数
的解析式；
(2)将函数的图像向右平移
个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，得到函数
的图像，求的解析式及
的单调递增区间；
(3)在(2)的条件下，若
在
上恰有奇数个零点，求实数
与零点个数
的值.
