题目内容
【题目】(2015·湖北）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且
，
．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为
轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求曲线C的方程；
（2）设动直线
与两定直线
和
分别交于
两点．若直线总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：
的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【答案】
（1）
曲线C的方程为
。
（2）
的最小值为8.
【解析】1.
设点
,
依题意，
,且
所以
,且
,即
且
.由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是
,故
,代入
,可得,即所求的曲线C的方程为。
2.
（1）当直线
的斜率不存在时，直线为
或
，都有
.
(2)当直线的斜率存在时，设直线
,由
消去
,可得
.因为直线总与椭圆C有且只有一个公共点，所以
,即
. ①又由
可得
;同理可得
.由原点O到直线
的距离为
和
,可得
.② 将①代入②得
。当
时，
;当
时，
.因，则 
,
,所以
,当且仅当
时取等号，所以当时,的最小值为8.
【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
．
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