Question

8．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是BC、DC的中点，G为 BF、DE的交点，若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$．
（1）试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AG}$；
（2）求$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{AG}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的加法以及三角形的重心坐标关系推出结果即可．
（2）表示出向量，利用数量积化简求解即可．

解答 解：（1）由题意若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$．
推出：$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，
E、F分别是BC，DC的中点，G为 BF、DE的交点，
所以G为△BCD的重心，∴$\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BF}$，
$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}$=$\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}（-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$．…（3分）
（2）若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$．
$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$．
∴$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{AG}$=$（-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）（\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}）$
=$-\frac{1}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{1}{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}{\overrightarrow{b}}^{2}$
=$-\frac{1}{3}$$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\frac{1}{3}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos60°+\frac{2}{3}|\overrightarrow{b}{|}^{2}$
=$-\frac{4}{3}+\frac{2}{3}+\frac{8}{3}$=2．…（6分）

点评 本题考查向量的数量积的应用，向量在三角形中的应用，考查计算能力．