题目内容

已知x∈（0，π），且 $数学公式$ ，求：
（1）sinx-cosx的值；
（2）sin2x+cos2x的值．

解：（1）∵sinx+cosx= $\text{[math]}$ ，
∴（sinx+cosx）²= $\text{[math]}$ ，
即1+2sinxcosx= $\text{[math]}$ ，
∴2sinxcosx=- $\text{[math]}$ ，
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又x∈（0，π），
∴sinx＞0，cosx＜0，
∴sinx-cosx＞0，
sinx-cosx= $\text{[math]}$ ；
（2）∵sinx+cosx= $\text{[math]}$ ，sinx-cosx= $\text{[math]}$ ；
∴sinx= $\text{[math]}$ ，cosx= $\text{[math]}$ ，
∴cos2x=cos²x-sin²x= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
∴sin2x+cos2x=- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）依题意可知 $\text{[math]}$ ＜x＜π，从而可求得sinx-cosx的值；
（2）可求得sinx，cosx的值后，利用二倍角公式可求得sin2x，cos2x的值，继而可得sin2x+cos2x的值．
点评：本题考查二倍角的余弦，考查同角三角函数间的基本关系，求得sinx，cosx的值是关键，属于中档题．