题目内容

设二次方程anx2-an+1x+1=0（n=1，2，3，…）有两根α、β，且满足6α-2αβ+6β=3．

    （1）试用an表示an+1；

    （2）求证：{an-}是等比数列；

    （3）当a1=时，求数列{an}的通项公式．

   

思路分析：这是有关数列、二次方程的根与系数关系的综合题．根据题目条件列出等量关系，找到递推关系即可求解．

    解：(1)根据根与系数的关系，有关系式

    代入已知条件6(α+β)-2αβ=3，得-=3．

    ∴an+1=an+．

     (2)由于an+1=an+，改写为an+1-=(an-)．

    故{an-}是等比数列．

     (3)当a1=时，a1-=．

    故{an-}是以为首项，以为公比的等比数列．

    ∴an=+()n，n=1，2，3，…，

    即数列{an}的通项公式是an=+()n，n=1，2，3，…．

练习册系列答案
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}是等比数列；
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（1）证明：{an-
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}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）设cn=n•(an-
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)，n∈N+，Tn为{cn}的前n项和，证明：Tn＜2，（n∈N+）．

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