Question

7．在△ABC所在平面上有一点P，满足$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{PC}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则x+y=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $-\frac{1}{3}$
• D． $-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由向量加减的三角形法则结合相反向量的定义，可得P为线段AB的一个三等分点，再根据向量的加减的几何意义即可求出答案．

解答 解：由$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{BC}$，可得$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{BP}$，
∴$\overrightarrow{PA}$=2$\overrightarrow{BP}$，
∴P为线段AB的一个三等分点，
∵$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
∴2$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{AC}$-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{PC}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，
∴x=1，y=-$\frac{2}{3}$，
∴x+y=$\frac{1}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查向量的运算法则，涉及共线向量定理，属基础题．