Question

11．已知数列{log₂（a_n+1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=1，a₃=7．求：
（Ⅰ）数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{log₂（a_n+1）}的公差为d．由a₁=1，a₃=7可求d，由等差数列的通项公式可求log₂（a_n+1），进而可求a_n；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的通项公式和分组求和法进行解答即可．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{log₂（a_n+1）}的公差为d．
由a₁=1，a₃=7得log₂8=log₂2+2d，即d=1．
所以log₂（a_n+1）=1+（n-1）×1=n，
即${a_n}+1={2^n}$，
∴${a_n}={2^n}-1$．
（Ⅱ）S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n$=2ⁿ⁺¹-2-n．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用分组求和法是解决本题的关键．