Question

已知f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=ax+2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在负实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）对x∈D，如果函数F（x）的图象在函数G（x）的图象的下方（没有公共点），则称函数 F（x）在D上被函数G（x）覆盖，若函数f（x）在区间x∈（1，+∞）上被函数g（x）=x³覆盖，求实数a的取值范围．（注：e是自然对数的底数，[ln（-x）]′=

1

x

）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）设设x＜0，则-x＞0，代入已知可求f（-x），结合奇函数f（x）=-f（-x），可求
（II）由（I）中函数的解析式，我们可以求出函数的导函数的解析式，分类讨论后可得当

2

a

＞-e时，f(x)min=f(

2

a

)；当

2

a

≤-e时f（x）_min=f（-e），列出方程求出参数a的值．
（Ⅲ）由题意要证函数F（x）在区间x∈（1，+∞）上被函数g（x）=x³覆盖等价于需证x³＞ax+2lnx对x∈（1，+∞）恒成立，利用导数求出函数的单调性，求出a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当x∈（-∞，0）时，则-x＞0，
由已知f（-x）=-ax+2ln（-x）=-f（x）∴f（x）=ax-2ln（-x），
∴f（x）=

ax+2lnx，(x＞0) ax-2ln(-x)，(x＜0)

（Ⅱ）假设存在a＜0满足题意，
∵f（x）=ax-2ln（-x），x∈[-e，0），
∴f′（x）=a-

2

x

=

a(x- 2 a )

x

，x∈[-e，0），
令f′(x)=0，x=

2

a

当

2

a

＞-e即a＜-

2

e

时，f（x）在(-e，

2

a

)上单调递减，(

2

a

，0)上单调递增，
∴f(x)min=f(

2

a

)=4，解得a=-2e，
当

2

a

≤-e即-

2

e

≤a＜0时，f（x）在[-e，0]上单调递增，
∴f（x）_min=f（-e）=4，解得a=-

6

e

＜-

2

e

，矛盾，
总之，存在a满足题意．
（Ⅲ）由题意，x³＞ax+2lnx对x∈（1，+∞）恒成立，
即a＜x2-

2lnx

x

对x∈（1，+∞）恒成立，
设h（x）=x2-

2lnx

x

，x∈（1，+∞），则h′(x)=2x-

2-2lnx

x2

=

2x3+2lnx-2

x2

，
设Φ（x）=2x³+2lnx-2，x∈（1，+∞），
则Φ′（x）=6x2+

2

x

＞0即Φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递增
∴Φ（x）＞Φ（1）=0
则h′（x）＞0即h（x）=x2-

2lnx

x

在x∈（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（1）=1若a＜h（x）对x∈（1，+∞）恒成立，则a≤1即可
所以实数a的取值范围为（-∞，1]

点评：第一问利用函数的奇偶性进行求解，比较常见，第三问是一道证明题，定义了一个新定义覆盖的概念，将这个问题转化为函数的恒成立的问题，就会比较简单；