Question

18．若在定义域内存在实数x满足f（-x）=f（x），则称函数f（x）为“局部偶函数”．
（Ⅰ）判断函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$是否为“局部偶函数”，并说明理由；
（Ⅱ）若F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{9}^{x}-k•{3}^{x}+{k}^{2}-16，x＞0}\\{k•{3}^{x}-{9}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$为“局部偶函数”，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$是“局部偶函数”，则f（-x）=f（x）有解，-x+$\frac{1}{x}$=x-$\frac{1}{x}$，求出x即可；
（Ⅱ）若F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{9}^{x}-k•{3}^{x}+{k}^{2}-16，x＞0}\\{k•{3}^{x}-{9}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$为“局部偶函数”，分类讨论，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）若函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$是“局部偶函数”，则f（-x）=f（x）有解，
∴-x+$\frac{1}{x}$=x-$\frac{1}{x}$，
∴$\frac{1}{x}$=x，∴x=±1；
（Ⅱ）若F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{9}^{x}-k•{3}^{x}+{k}^{2}-16，x＞0}\\{k•{3}^{x}-{9}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$为“局部偶函数”，
则x＞0，k•3^-x-9^-x=9^x-k•3^x+k²-16，
令t=3^x+3^-x（t＞2），则t²-kt+k²-18=0有大于2的解，∴$\frac{k+\sqrt{72-3{k}^{2}}}{2}$＞2，∴k＞1-$\sqrt{15}$；
x＜0，k•3^x-9^x=9^-x-k•3^-x+k²-16，
令t=3^x+3^-x（0＜t＜2），则t²-kt+k²-18=0有大于0，小于2的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}-18＞0}\\{4-2k+{k}^{2}-18＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}-4（{k}^{2}-18）≥0}\\{0＜\frac{k}{2}＜2}\\{{k}^{2}-18＞0}\\{4-2k+{k}^{2}-18＞0}\end{array}\right.$，∴3$\sqrt{2}$＜k＜1+$\sqrt{15}$，
综上所述，k＞1-$\sqrt{15}$或3$\sqrt{2}$＜k＜1+$\sqrt{15}$．

点评 本题考查局部偶函数，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．