Question

13．已知a＞0且a≠1，f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2，其中f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，若g（2）=a，则f（2）的值为（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{17}{4}$
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 由已知中定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2根，据函数奇偶性的性质，得到关于f（x），g（x）的另一个方程f（-x）+g（-x）=a^-x-a^x+2，并由此求出f（x），g（x）的解析式，再根据g（2）=a=2求出a值后，即可得到f（2）的值．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
∵f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2 ①
∴f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=a^-x-a^x+2 ②
①②联立解得f（x）=a^x-a^-x，g（x）=2
由已知g（2）=a=2
∴a=2，f（x）=2^x-2^-x
∴f（2）=4-$\frac{1}{4}$=$\frac{15}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求法--方程组法，函数奇偶性的性质，其中利用奇偶性的性质，求出f（x），g（x）的解析式，再根据g（2）=a=2求出a值，是解答本题的关键．