Question

对给定的正整数n（n≥6），由不大于n的连续5个正整数的和组成集合A，由不大于n的连续6个正整数的和组成集合B，若集合A∩B的元素个数为2013，则n的最大值为

 

．

Answer 1

考点：交集及其运算,数列的函数特性,等差数列

专题：函数的性质及应用

分析：本题可先对“不大于n的连续5个正整数的和”的特征进行研究，得到其个数、最小值、最大值的情况，再对“不大于n的连续6个正整数的和”进行相应的研究，再根据“集合A∩B的元素个数为2013”，

解答： 解：∵给定的正整数n（n≥6），
∴由不大于n的连续5个正整数的和分别有：
1+2+3+4+5，2+3+4+5+6，3+4+5+6+7，…，（n-4）+（n-3）+（n-2）+（n-1）+n．
即15，20，25，30，…，5n-10．
构成一个等差数列，首项为15，公差为5，
∴通项公式为：a_p=15+5（p-1）=5p+10，其中p=1，2，3，…，（n-4）．
∵给定的正整数n（n≥6），
∴由不大于n的连续6个正整数的和分别有：
1+2+3+4+5+6，2+3+4+5+6+7，3+4+5+6+7+8，…，（n-5）+（n-4）+（n-3）+（n-2）+（n-1）+n．
构成一个等差数列，首项为21，公差为6，
∴通项公式为：a_q=21+6（q-1）=6q+15，其中q=1，2，3，…，（n-5）．
∵由不大于n的连续5个正整数的和组成集合A，由不大于n的连续6个正整数的和组成集合B，
∴集合A中的元素个数为n-4，集合B中的元素个数为n-5．
设集合A、B的公共元素有m个，
∵集合A∩B的元素个数为2013，
∴n-4+n-5-m=2013，
∴2n-m=2022．①
∵集合A、B的公共元素满足条件：5p+10=6q+15，
∴p=

6

5

q+1，
∴q能被5整除，
∴q=5m，p=6m+1，
∴

5m≤n-5 6m+1≤n-4

，
∴n≥6m+5，
即m≤

1

6

n-

5

6

．②
由①②得：n≤1102．
当n=1102时，m=182，适合题意．
故答案为：1102．

点评：本题通过对数列特征的研究，从而得到两个等差数列的首项、公差，通过对公共项的研究得到集合A∩B的元素个数，本题难度较大，属于难题．