Question

已知函数f（x）=ln（x+1）+

ax

x+1

（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）在x=0处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）求证：ln（n+1）＞

1-1

12

+

2-1

22

+

3-1

32

+…+

n-1

n2

（n∈N^*）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出导数，求出切线的斜率，切点，进而运用点斜式方程，求出切线方程；
（2）求出导数，对a讨论，分a≥0，a＜0，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域，进而得到极小值；
（3）令a=-1，得到f（x）在x=0处取得极小值，也为最小值，且为0，即有f（x）≥0，即ln（1+x）≥

x

1+x

，令x=

1

n

，则有ln（1+

1

n

）≥

1

n+1

，由于

1

n(n+1)

＜

1

n2

即有

1

n

-

1

n+1

＜

1

n2

，证得ln（1+

1

n

）＞

n-1

n2

，运用累加法和对数的运算性质，即可得证．

解答： （1）解：函数f（x）=ln（x+1）+

ax

x+1

的导数为
f′（x）=

1

x+1

+

a

(x+1)2

，
则函数f（x）在x=0处的切线斜率为1+a=2，切点为（0，0），
即有函数f（x）在x=0处的切线方程为y=2x；
（2）解：f′（x）=

1

x+1

+

a

(x+1)2

=

x+1+a

(x+1)2

，
当a≥0时，x+1+a≥x+1＞0，f′（x）＞0恒成立，即有f（x）递增；
当a＜0时，由f′（x）＞0，解得，x＞-1-a；由f′（x）＜0，解得，-1＜x＜-1-a．
综上可得，a≥0时，f（x）的单调增区间为（-1，+∞），无减区间，无极值；
a＜0时，f（x）的单调增区间为（-1-a，+∞），减区间为（-1，-1-a），
f（x）在x=-1-a取得极小值，且为ln（-a）+1+a．
（3）证明：当a=-1时，由（2）可得，
f（x）的单调增区间为（0，+∞），减区间为（-1，0）．
则f（x）在x=0处取得极小值，也为最小值，且为0，
即有f（x）≥0，即ln（1+x）≥

x

1+x

，
令x=

1

n

，则有ln（1+

1

n

）≥

1

n+1

，
由于

1

n(n+1)

＜

1

n2

即有

1

n

-

1

n+1

＜

1

n2

，
即有

1

n+1

＞

n-1

n2

，
则ln（1+

1

n

）＞

n-1

n2

，
即有ln（1+

1

1

）+ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

3

）+…+ln（1+

1

n

）
＞

1-1

12

+

2-1

22

+

3-1

32

+…+

n-1

n2

，
即为ln（

2

1

•

3

2

•

4

3

••

n+1

n

）＞

1-1

12

+

2-1

22

+

3-1

32

+…+

n-1

n2

，
则有ln（n+1）＞

1-1

12

+

2-1

22

+

3-1

32

+…+

n-1

n2

成立．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，考查运用函数的最值证明不等式的方法，考查化简运算能力，属于中档题和易错题．