Question

11．已知指数函数y=g（x）的图象经过点（2，4），且定义域为R的函数f（x）=$\frac{b-g（x）}{a+g（x）}$是奇函数．
（1）求f（x）的解析式，判断f（x）在定义域R上的单调性，并给予证明；
（2）若关于x的方程f（x）=m在[-1，0）上有解，求f（$\frac{1}{m}$）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出指数函数的解析式，利用定义域为R的函数f（x）=$\frac{b-g（x）}{a+g（x）}$是奇函数，求f（x）的解析式，利用导数的方法判断并证明f（x）在定义域R上的单调性；
（2）若关于x的方程f（x）=m在[-1，0）上有解，求出m的范围，即可求f（$\frac{1}{m}$）的取值范围．

解答 解：（1）指数函数y=g（x）的图象经过点（2，4），则g（x）=2^x，
f（x）=$\frac{b-g（x）}{a+g（x）}$是奇函数，f（0）=0，可得b=1，
由f（-1）=-f（1），可得a=1，∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$，
∵f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$，∴f′（x）=$\frac{-2•{2}^{x}ln2}{（1+{2}^{x}）^{2}}$＜0，
∴f（x）在定义域R上单调递减；
（2）方程f（x）=m在[-1，0）上有解，即$\frac{2}{1+{2}^{x}}$-1=0在[-1，0）上有解
因为f（x）在R上的减函数，所以当x∈[-1，0），0=f（0）＜m≤f（-1）=$\frac{1}{3}$，得$\frac{1}{m}$≥3，
所以f（$\frac{1}{m}$）≤f（3）=-$\frac{7}{9}$
又由$\frac{2}{1+{2}^{x}}$＞0，得$\frac{2}{1+{2}^{x}}$-1＞-1，得-1＜f（$\frac{1}{m}$）≤-$\frac{7}{9}$，
所以f（$\frac{1}{m}$）的取值范围是（-1，-$\frac{7}{9}$]．

点评 本题考查计算解析式的确定，考查函数奇偶性的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．