Question

已知函数y=cos²x+2psinx+q有最大值6和最小值3，求实数p，q的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,分类讨论,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：先令sinx=t将y=cos²x+2psinx+q转化为关于t且t∈[-1，1]的一元二次函数，然后求出其对称轴，再对p的值进行讨论从而可确定函数在[-1，1]上的单调性，进而根据其最值可求出p，q的值．

解答： 解：令sinx=t，t∈[-1，1]，
则y=1-sin²x+2psinx+q
y=-（sinx-p）²+p²+q+1=-（t-p）²+p²+q+1，
∴y=-（t-p）²+p²+q+1，对称轴为t=p，
当p＜-1时，[-1，1]是函数y的递减区间，
y_max=y|_t=-1=（-1-p）²+p²+q+1=6，y_min=y|_t=1=（1-p）²+p²+q+1=3，
得p=

3

4

，与p＜-1矛盾；
当p＞1时，[-1，1]是函数y的递增区间，
y_max=y|_t=1=2p+q=6，y_min=y|_t=-1=-2p+q=3，
得p=

3

4

，与p＞1矛盾；
当-1≤p≤1时，y_max=y|_t=p=p²+q+1=6，
再当p≥0，y_min=y|_t=-1=-2p+q=3，得p=

3

-1，q=1+2

3

；
当p＜0，y_min=y|_t=1=2p+q=3，得p=1-

3

，q=1+2

3

．
∴p=±（

3

-1），q=1+2

3

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和一元二次函数的单调性以及最值的问题．考查考生的基础知识的综合运用能力．