题目内容
函数f（x）=sin2ωx+2
cos2ωx-
（x∈R），ω＞0，函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知g（x）的图象和f（x）的图象关于点M（
，0）对称，求g（x）的单调增区间．
| 3 |
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（1）求f（x）的解析式；
（2）已知g（x）的图象和f（x）的图象关于点M（
| 2π |
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考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（Ⅰ）通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过周期公式即可求值；
（Ⅱ）通过函数g（x）和函数f（x）关于点（
，0）对称，求出函数g（x）的表达式，利用余弦函数的单调减区间求出函数的单调增区间．
（Ⅱ）通过函数g（x）和函数f（x）关于点（
| 2π |
| 3 |
解答：
解：（1）∵f（x）=sin2ωx+2
cos2ωx-
=sin2ωx+2
×
-
=2sin（2ωx+
）
∵T=
=π
∴ω=1
∴f（x）=2sin（2x+
）
（2）（Ⅱ）因为函数g（x）和函数f（x）关于点（
，0）对称，
所以g（x）=0-f（
-x）=-2sin[2（
-x）+
]=-2sin2x
由不等式2kπ+
≤2x≤
+2kπ，得到x∈[kπ+
，kπ+
]，k∈Z
所以函数g（x）的单调增区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈Z．
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| 1+cos2ωx |
| 2 |
| 3 |
| π |
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∵T=
| 2π |
| 2ω |
∴ω=1
∴f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
（2）（Ⅱ）因为函数g（x）和函数f（x）关于点（
| 2π |
| 3 |
所以g（x）=0-f（
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
由不等式2kπ+
| π |
| 2 |
| 3π |
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| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
所以函数g（x）的单调增区间为[kπ+
| π |
| 4 |
| 3π |
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点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，两角和的正弦函数的应用，函数的对称性，单调区间的求法，考查计算能力．
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